为什么要学数电？一文极速理解数电-为什么喜欢数学

正 文

为什么要学数电？毫不夸张地说，数电带来了信息化时代。大家身边所有的电器，里面都会有一块或多块电路板，上面基本都会有若干个芯片，芯片内部里面跑的全是数字信号0和1。

作为当代人类最高智慧的结晶，芯片的重要性不言而喻，而芯片的最最基本原理，就是数字电路。

OK，下面的内容环环相扣，事不宜迟，我们开搞！

1 数制与编码

数 制

数电里面跑的全是0和1，所以科学家们引入了二进制。十进制我们熟悉，9之后就进一位；二进制就是1之后就进一位。10这个数字，在二进制里，就是十进制的2，同理1010，在二进制里，就是十进制的 23 + 0 + 21 + 0 = 8 + 2 = 10

除了二进制，为了方便表示多位二进制，还有八进制和十六进制。当然只是给一个10我们不知道它是十进制还是二进制，所以一般我们用括号括住数字，然后在右下角表上字母BODH，表示二进制、八进制、十进制和十六进制。这有个小技巧，BODH可以读作“拨电话”，现在你肯定记住啦哈哈。对于这四个进制，要懂得熟练地进行相互转换！

二进制当然也可以运算，要引入原码、反码、补码三个概念。反码是除了符号位全部取反，补码是反码+1，对于正数，原码反码补码不变！负数就按照上面规则变换为补码后正常加减，结果再转为原码就是答案，有个技巧是补码取反再+1就是反码。

编 码

上面说的十进制转为二进制就是一种编码。在数电里有很多的编码方式，都有其意义。这里列出个人觉得挺重要的两个。

1、格雷码：任意相邻的两位之间只相差一位！在正常工作电路中，输入时常会变化，若输入突然变化多个位，很容易导致输出不稳定，有毛刺。若把输入编为格雷码，会有不错的效果。格雷码在后面讲到的卡诺图化简中会有极大的用处。

2、独热码：这是最简单的一种编码了，每个状态只有一位是1其他都是0，简单且暴力，在后面设计有限状态机的状态变量时常常使用。

2 门电路

下面进入门电路，这里会涉及模电的知识。数电是由模电发展而来的，他们之间的紧密关系，就在门电路这章里体现。

学过模电那肯定很熟悉MOSFET场效应管。在数电中，1表示高电平，0表示低电平，晶体管都处于开关状态，即可以看成一个开关。 用一个NMOS和一个PMOS，NMOS下拉，PMOS上拉，就形成一个CMOS，一个CMOS就是最简单的一个非门！！！

咱们看，输入的A为0时，上拉的PMOS导通，输出C为1。输入为1时，下拉的NMOS导通，输出为1，所以这个电路实现输出对输入取反的逻辑功能，就叫其非门。

常用的逻辑门还有与门：有0出0；或门：有1出1；与非门：有0出1；或非门：有1出0；

下图中左图是与非门，右图是或非门。（技巧：只看下拉的NMOS！串在一起，就是与非门，并在一起，就是或非门。）

在数电，逻辑门还有许多许多：

大家也要很熟悉右边对应的逻辑符号哦。所以至此，了解了逻辑门的内部构造后，我们可以把它封装成一个个逻辑符号，就如同我们把集成运放电路封装成运放符号一样。

接下来，我们就可以放下模电，进入纯逻辑的数字电路！

3 逻辑代数

在数电里，我们描述一个电路的功能，有三种方式。逻辑表达式，真值表和逻辑电路图。

这仨说的是一个事情！就如同西红柿和番茄。

知道了其中任何一个，其他两个你就知道了。但其中最重要的，还是真值表，我们的关注点更多会落在它上面。真值表一写出来，所有东西都明了了。

真值表的左边，是变量的所有情况，如果两个变量，那就是有 22=4 种状态，同理三个变量就 23=8种状态。真值表的右边，是不同状态输入电路之后的输出。我们在输出端一般只关注1，像上面的真值表，有三个1，则把他们对应的状态都相或，即写成标准与或式（最小项之和），

Y= A ′ B ′ + A ′ B + A B ′

经过化简，就是 Y = ( A B ) ′ Y = (AB)Y=(AB)′。

还有一个技巧，当输出很多1时，我们可以只关注0，那么写出来的就是 Y′的表达式，再取反一下就行！

化 简

逻辑表达式很复杂时，我们如何化简？常用的有公式法和卡诺图法。

公式法：有大名鼎鼎的摩根公式

还有下面这个公式也是用得非常非常多，推导的话由左往右推比较难，我们试试由右往左推，则会非常简单。

其他公式（图来自网络）：

卡诺图化简

学过数电的童鞋都会惊叹卡诺图的巧妙，它的本质就是前面说的格雷码的逻辑相邻性

，我们拿到一个真值表，就可以画出一个卡诺图。

三变量的输入有8个状态，然后在对应的状态框框中写上它对应的输出，注意，卡诺图中的变量时用格雷码编码，看下图中的BC就能知道，只有这样才能利用上它的逻辑相邻性，这样，一个卡诺图就画好了，但这只是开始。怎么利用它进行化简？

下图中我给分别相邻的两个1画了两个圈圈，圈圈代表里面的状态相或，因为逻辑相邻性，则两个状态只有一位不同，所以由公式法（A+A=1）可以消去这一位！即现在这两个3位的状态 A′BC′+ABC′可以由一个2位的状态代替，即 BC′！

因为前面说过整个输出的逻辑表达式就是所有输出为1的状态相或，所以我们把所有1圈完，得到的BC+AB就是输出！所以在卡诺图上画圈圈就可以把一个复杂的表达式化简。

前面是最简单的例子，要想正确使用卡诺图化简，要遵守两个游戏规则：

1、把1圈完；

2、圈大且少。

第二个尤为重要，即我们画圈圈时，圈要尽量大，还要尽量少，这样才能最好地化简一个表达式。

比如下图

这样圈正确吗？大大地错误！没圈完1。下面这样呢？

还是不行！因为圈不够大。下面才为正确：两个圈圈搞定，结果是 CD + AB

卡诺图还有很多很多的技巧，这里说不完，推荐给大家一个很好的b站视频：BV16E411s7TE4 组合逻辑电路

终于！我们来到了数电的重头戏之一，组合逻辑电路。其实下面我们才真正开始进入数电。

在数电中，所有的电路，可以分为两类，一类就是组合逻辑电路，还有一类是时序逻辑电路，这俩占了数电的大半江山。对于组合逻辑电路，定义为输出只由输入决定

。

你可能会问，那还会由什么决定？还会被状态决定！这就是时序逻辑电路的特性，等下会讲，先搞定这个组合逻辑电路。

小规模集成电路SSI

如上面这个图，电路全是由基本逻辑门组成，我们称其为小规模集成电路，集成就是逻辑门集成了若干个晶体管嘛，而晶体管是由N型半导体和P型半导体形成，这些半导体是由沙子提炼的硅SI掺杂而成，怎样，模电数电就串起来了。

对于SSI，我们无非就搞两件事情，分析和设计。

分析：就是给我一个电路图，我对他一顿分析得出它的功能。图→功能

设计：就是我想实现一个功能，通过设计画出一个对应电路图。功能→图

先看分析：现在我有一个电路图：

然后我可以轻松地将他的表达式写出，最好再用上化简知识化简一下：

然后由表达式我再轻松列出真值表：

由真值表，我们就能分析出它的功能！这回事一个半加器电路（C为进位，S为和），很重要的哦。

再看看设计，现在我们拿到一个想要实现的功能：

由这个功能我们列出对应的真值表，

由真值表轻松地写出相应的逻辑表达式：

对着表达式，我们就能画出它的电路图啦！

你看，组合逻辑电路的设计是分析的逆过程，就是这么程序化，送分的。

中规模集成电路MSI

一些逻辑门组合在一起能实现特定的功能，比如上面讲的半加器，我们将其封装起来，就成了MSI。

上图就把所有常见的LSI列了出来，

编码器：如第一根引脚输入1，则输出为00；第二根引脚输入1，则输出为01，依此类推；

译码器：如输入为00，则第一根引脚输出1；如输入为01，则第二根引脚输出1，依此类推；

选择器：比较两个输入，如相等就在相等的引脚输出1；

加法器：半加器前面讲过，全加器就是输入多了一位以前的进位。

译码器和选择器尤为重要，因为它们很常用，且能实现任意的组合逻辑表达式。

高规模集成电路LSI

同理，就是一些MSI组合在一起能表示一个更全面的功能，就将其封装在一起，变成LSI。

不如PLD（可编程逻辑器件）和 FPGA，这章不是重点，但我想说一下FPGA，这个芯片是相对于单片机来说的另一大控制芯片，使用硬件描述语言（HDL）编程，并行执行代码且性能更强大，目前它的缺点就是太贵了，我相信以后随着成本下来，它就逐渐进入我们生活，带来更加智能的世界。

5 触发器

正式讲时序逻辑电路之前，要讲讲时序逻辑电路的单位模块，触发器。

在平静祥和的日子里，两个普普通通的或非门在路上走着，非常纯真无邪，

但是突然，一个科学家对它们做了这样的处理：哈哈哈别害怕

这一搞，整个时代向前推进了一大步！因为这就是RS触发器！

我们来看看它的真值表：

相信大家都能分析出来，先说说输入为11时为什么不允许，因为11会得到输出00，如果这时输入再从11变为00，那问题就出现了，电路会处于不定的状态，这肯定不行，所以就禁止了输入为11的情况。

我们重点看看输入为00时，当电路的状态Q为0时，输出为0；当电路的状态Q为1时，输出为1！组合逻辑电路大为震惊，因为明明输入是一样的00，为什么输出会不同？因为电路的状态不同，这就是触发器的魅力，也是时序逻辑电路的基础，也是数电的超级重点！

RS是最初的触发器，所以会有一些小问题，随着时代进步，触发器也经历了许多迭代，好奇的童鞋可以从你们的书上了解这段历史，这里我直接列出现在用的最多的两款触发器：D触发器和JK触发器。

这两款触发器都有一个时钟端，用于输入时钟脉冲CLK，输出会随着时钟CLK的变化而刷新，且他们的时钟触发方式是边沿触发，即在CLK的上升沿或下降沿触发，非常的方便。

上图中下面的公式为触发器的输出方程，对于时序逻辑电路来说就是状态方程，是需要我们记住的，相当于这款触发器的说明书。我们着重关注D触发器！因为它方程最简单，是最易学的。

6 时序逻辑电路

Finally，我们来到了数电的重中之中，也是其魅力所在，时序逻辑电路。

关于它的意义我可以再举一个例子，有一个机器我每按一下按钮它会依次输出12345，这对于组合逻辑电路来说是不可能的任务，因为每一次输入都是相同的按一下按钮，为什么输出会不同，它不理解，而时序逻辑电路说我可以！因为它能记住当前的状态，从而知道下一步应该怎么走。

观察上图能知道时序逻辑电路里面也有组合逻辑电路，是由发展而来，主要是下面的那个存储电路，能把电路的现态（现在的状态）给记住！从而影响次态（下一次触发的状态）。

因为时序逻辑电路的主角是触发器，也正是由于触发器，它引入了时钟和状态这俩重要概念，使我们能通过电路实现的功能更加丰富。

FSM（有限状态机）

对于时序逻辑电路，它所有的状态变换都可以画出来，即状态转换图

，就如同真值表描述了整个组合逻辑电路的功能，状态转换图描述了整个时序电路的功能。

这样在不同状态之间跳来跳去的电路或机器，我们就叫它有限状态机（Finite State Machine）。（所以FSM肯定是时序逻辑电路）

比如下面这个就是一只猫在一天里的状态变化：

这是某人一天的状态变化：

写专业点（给状态编码），可以是下面这样，先别害怕，很好分析的：

FSM的分析和设计

各位应该还记得前面组合逻辑电路的分析和设计是多么的简单，FSM的分析和设计与其概念一样，分析就是图→功能，设计就是功能→图，但过程很不一样，也是很简单的！

先看分析，现在我拿到一个电路图，由两个D触发器组成，所以我知道这个电路状态变量为2，即有4个状态：

由这个电路图我可以写出三个方程，激励方程（输入方程）、状态方程和输出方程。

激励方程就是触发器的输入端的方程，D1和D0由图看很容易写出表达式；

状态方程就是我们之前背的触发器的“说明书”，有激励方程就能轻松写出Q1n+1和Q0n+1；

输出方程最简单，看着输出端Y，写出它的表达式就行。

由状态方程和输出方程就可以列出真值表！

由真值表就可以画出这个FSM的状态转换图：（ X/Y 表示 输入/输出 ，该电路没有输入所以X没有）

看着这个状态转换图，我们可以发现它的含义，啊，原来它是我的一天的状态变化，吃饱了就玩，玩累了就睡，睡醒了就感到饿，饿时突然有吃的，我就会“欢呼”。（欢呼代表输出为1）

现在来看看设计过程！我有一个功能（我的一天状态变化），现在想画出一个实现该功能的电路：

先经过状态编码，将吃编码为00，玩编码为01，饿编码为10，睡编码为11，欢呼定义为输出1，ok，现在就可以画出整个功能的状态转换图了！

有状态转换图，我们画出对应的真值表，也叫状态转换真值表：

由真值表，我们细心地先看着Y项写出输出方程，再看着Q1n+1和Q0n+1写出状态表达式，再由我们背的触发器“说明书”，写出D1和D0的激励方程，搞定！

三个方程有了，电路图轻松画出！

7 进阶

至此整个数电最基础的知识我都讲到了，虽然很基础，但是越基础的东西越重要，其实电路的分析和设计也可以搞得很难，上面那些只是便于大家理解最简单的例子，想要深入掌握他们还得靠日积月累的做题和巩固，这篇文章只是帮到大家形成知识框架。

74LS160、74LS194

之后大家会学到74LS160、74LS194这两个芯片，非常非常的重要，一个是计数芯片，一个是移位芯片，就如译码器和选择器能实现任意组合逻辑电路，它们能实现任意的时序逻辑电路，所以很多题目都会考到它们，让你用这俩芯片之一设计一个现实生活中的功能。

施密特触发电路、单稳态电路、多谐振荡电路

这三个电路会在波形的发送与转换这一章学习到，三个电路都能用逻辑门手搭出来，实现的电路有多种，但波形就是下面这样，分别是施密特触发电路、单稳态电路、多谐振荡电路。

施密特触发电路就是输入增大到一个A值，输出取反，但是输入随后减小到A值时，输出没变化，要继续减小到B值，输出再取反，然后它也还是要增大到A值，输出才变化，这就是这电路的规则，很有意思！

单稳态指输出的稳定状态只有一个，输入刺激以下输出可能会变，但过一段时间它会自己回到稳态。超市的门就是单稳态，你推开之后它会自动回到关闭状态。

多谐振荡电路一般就是生成一个方波或三角波。

555定时器

555定时器的重要性就相当于模电中的运放，它每一年的销量都处于芯片的前列，因为它简单且太实用了，上面说到的三个电路也可以通过555搭建出来。因为篇幅有限，555的知识得靠各位从书中理解了。

以下分别是555实现施密特触发电路、单稳态电路、多谐振荡电路的电路

AD/DA电路

AD：模拟到数字转换

DA：数字到模拟转换

这章你们会学到如何自己手搭一个AD和DA电路。

最后再看一下数电所有知识的知识框架，希望能帮助各位对数电形成大致的了解。

审核编辑：刘清