多边形构建三角形

本篇文章将介绍怎样将一个多边形剖分成三角形，写这篇博客的背景是由于我想要利用OpenGL ES绘制面，但是OpenGL ES没有给出由多边形构建面的功能，因此为了绘制面，必须将多边形划分成三角形，以下是过程，由于查询的资料较多，中间出现讲解错误的地方，还请各位指正。

1.向量点乘

a=(x0,y0)，b=(x1,y1)

a▪b=x0x1+y0y1=abcosθ θ为向量a,b的夹角

2.向量叉乘

axb=x0y2-x1y1=k

叉乘具有如下意义

a，b向量构成的平行四边形的面积。 ②如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。

正旋：

平面坐标系中，坐标轴，x轴朝y轴方向旋转90°和y轴重合的方向视为正旋转。(通俗的来讲就是x轴旋转到y轴只需要旋转90°，那么这个旋转就是正旋转），如下图所示

3.简单几何图形的凸角、凹角 在简单几何图形中，在构成这个几何图形的所有点中寻找一个X坐标或者Y坐标最大的点，该点一定是凸角，如下图所示，C点一定是凸角。

简单几何体找出所有凹凸：

根据结论1，我们得知C为凸角，那么向量BC→叉乘CD→，得到一个值为k。

则得到结论，k>0时，所有叉乘积>0的为凸角，反之为凹角。k<0时，所有叉乘积<0的为凸角，反之为凹角。注意当顺时针计算时K<0为凸角，K>0时为凹角。

以上图为例：

BC→叉乘CD→ = k ，这里计算出来应该为k<0;

CD→叉乘DA→ = v ，如图所示，很明显D点对应的角是个凸角，那么v<0。（这里用图来佐证推测v<0，实际上求出来的v一定是<0，且可以通过<0的结果得到D点对应的角一定是个凸角）。

4.判断点是否在三角行内部 判断三点是否在三角形内有三种方法：面积法、重心法、同向法；前面两种方法都比较简单，这里选择同向法进行讲解。

定义：平面上的三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)的面积量：S(P1,P2,P3)=|y1 y2 y3|= (x1-x3)(y2-y3)-(y1-y3)(x2-x3),即向量P1P3叉乘P2P3 当P1P2P3逆时针时S为正的，当P1P2P3顺时针时S为负的。 令矢量的起点为A，终点为B，判断的点为C， 如果S（A，B，C）为正数，则C在矢量AB的左侧； 如果S（A，B，C）为负数，则C在矢量AB的右侧； 如果S（A，B，C）为0，则C在直线AB上。

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过上面的面积量实现，计算S(A,B，P)、S(B,C,P)、S(C,A,P)是否同时为正或者为负。

5.多边形三角化 对凸多边形的三角化(没有凹角的多边形叫做凸多边形) 选择凸多边形的任意一点为起点，将当前点与该点的前面和后面一点构成三角形，然后将得到的三角形保存起来 删除当前点，形成新的多边形 重复以上步骤，直到只剩三个点 步骤如下图所示：

2.凹多边形的三角化 （1）求出所有角的凹凸性。

（2）选取其中一个凹角，然后凹角所在点，和前两点或后两点，形成一个三角形 。如果这个图形中剩余的点（三点除外的点），有任意一个点在这个三角形的内部，则证明是错误的分割，换一个凹角重复(2)操作。反之，把这3个点构成的三角形保存到三角形数组中，删除连续3点中，中间点（凹角旁边一定是凸角，所以删除的就是凸角点）。

（3）重复（1）（2）操作直到点只剩3个时终止，并且把这三个点构成一个三角形，保存到三角形数组中。

原文链接：https://blog.csdn.net/yuanheng19930119/article/details/88055949

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